<非選擇>坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。 令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。試 說 明 \( L_{1}\) 、 \( L_{2}\) 、 \( L_{3}\) 中,任兩直線 所 夾的 銳 角皆為 \( 60^{\circ}\) 。
答案
先求各直線方向向量,平面 \(E_{1}\) 法向量 \(\vec{n}_{1}=(1,1,1)\),\(E_{2}\) 法向量 \(\vec{n}_{2}=(1,- 1,1)\),\(E_{3}\) 法向量 \(\vec{n}_{3}=(1,- 1,- 1)\) 。 \(L_{1}\) 方向向量 \(\vec{v}_{1}=\vec{n}_{2}\times\vec{n}_{3}=(2,2,0)\),\(L_{2}\) 方向向量 \(\vec{v}_{2}=\vec{n}_{3}\times\vec{n}_{1}=(0,2,2)\),\(L_{3}\) 方向向量 \(\vec{v}_{3}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=(2,0,- 2)\) 。任取兩個方向向量,如 \(\vec{v}_{1}\) 與 \(\vec{v}_{2}\),\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}\vert}{\vert\vec{v}_{1}\vert\vert\vec{v}_{2}\vert}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\),所以夾角為 \(60^{\circ}\),同理可證其他兩兩夾角也為 \(60^{\circ}\)。
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