<多選>設 \( f (x) \) 為 三次 實 係 數 多 項 式。已知 \( f (−2 − 3i) = 0\)（其中 \( i=\sqrt{-1} \)）,且 \( f (x) \) 除以 \( x^{2}+x – 2\) 的餘式為 18 。試選出正確 的 選項。
(1) \( f (2 + 3i) = 0\)
(2) \( f (−2) = 18\)
(3) \( f (x) \) 的三次項係數為負
(4) \( f (x) = 0\) 恰有 一 正實根
(5) \( y = f (x) \) 圖形的對稱中心在第 一 象 限
答案
(1) 實系數多項式的虛根成對出現,所以 \(f (-2 + 3i) = 0\),(1) 錯
(2) \(x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)\),令 \(f(x)=(x^{2}+x - 2)q(x)+18\),則 \(f(-2)=18\),(2) 對；
(3) $令f(x)=[x-(-2-3i)][x-(-2+3i)](ax+b)=(x^2+4x+13)(px+q)\\
\because f(-2)=18=f(1)~~x=-2,1代入上式\\
解得p=-\frac{1}{3},q=\frac{4}{3}$,(3) 對；
(4) $by(3),可令px+q=0,解得第三根x=4$,(4) 對；
(5) 代對稱中心公式 \((-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))\),即可判定,(5) 錯。
答案是(2)(3)(4)。 報錯
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