<多選>設z為非零複數，且設\(\alpha = |z|\)、\(\beta\)為z的輻角，其中\(0 \leq \beta \lt 2\pi\)（其中\(\pi\)為圓周率）。
對任一正整數n，設實數\(x_{n}\)與\(y_{n}\)分別為\(z^{n}\)的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若\(\alpha = 1\)且\(\beta = \frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = x_{3}\)
(2) 若\(y_{3} = 0\)，則\(y_{6} = 0\)
(3) 若\(x_{3} = 1\)，則\(x_{6} = 1\)
(4) 若數列\(\{y_{n}\}\)收斂，則\(\alpha \leq 1\)
(5) 若數列\(\{x_{n}\}\)收斂，則數列\(\{y_{n}\}\)也收斂
選項（1）
由棣美弗定理，\(z = \cos\frac{3\pi}{7} + i\sin\frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = \cos\left(10 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}\)，\(x_3 = \cos\left(3 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{9\pi}{7}\)。
因\(\cos\frac{2\pi}{7} \neq \cos\frac{9\pi}{7}\)，故\(x_{10} \neq x_3\)，（1）錯誤。
選項（2）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(y_3 = 0 \implies \sin3\beta = 0\)，即\(3\beta = k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），\(\beta = \frac{k\pi}{3}\)。
代入\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)，得\(6\beta = 2k\pi\)，此時\(\sin6\beta = 0\)，故\(y_6 = 0\)，（2）正確。
選項（3）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(x_3 = 1 \implies \alpha^3\cos3\beta = 1\)。
但\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)中，\(\alpha^6\cos6\beta\)未必等於1。例如，取\(\alpha = \sqrt[3]{2}\)，\(\cos3\beta = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\)，此時\(\cos6\beta\)無法保證\(\alpha^6\cos6\beta = 1\)，（3）錯誤。
選項（4）\(y_n = \alpha^n\sin(n\beta)\)。若\(\alpha > 1\)，\(\alpha^n\)趨向無窮，\(y_n\)因\(\sin(n\beta)\)振盪而不收斂；若\(\alpha \leq 1\)，\(\alpha^n \to 0\)（\(\alpha < 1\)）或穩定（\(\alpha = 1\)），此時\(y_n\)收斂。
因此，\(\{y_n\}\)收斂 \(\implies \alpha \lt 1\)，（4）錯誤。
選項（5）$\because \alpha\lt1\therefore \{y_n\}收斂$（5）正確。 報錯
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