<多選>有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤靶子，其圓心分別為 (2,2)、(4,6) 與 (8,1)。玩家選定一正數 \( a \)，並按下按鈕後，發射台將向點 (1,a) 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（則過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。
(1) 雷射光束落在通過原點且斜率為 \( a \) 的直線上
(2) 若 \( a = \frac{3}{2} \)，則雷射光束會擊中圓心為 (4,6) 的圓盤靶子
(3) 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
(4) 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
(5) 玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 (8,1) 的圓盤靶子，則 \( a \leq \frac{16}{63} \)
答案
$\begin{align*}
&(1) ○：過(0,0)、(1,a)的直線斜率m=\frac{a-0}{1-0}=a；\\
\\
&(2) ○：當a=\frac{3}{2}時，直線y=\frac{3}{2}x過(4,6)；\\
\\
&(5) ○：設L:y=ax為圓C_3的切線，由距離條件d(C_3,L)\leq1：\\
&\frac{|8a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\leq1 \implies 63a^2-16a\leq0 \implies 0
\\
&(3)(4) ×：由圖及共線、切線性質，至少需2道雷射光；\\
\\
&故選(1)(2)(5)。
\end{align*}$
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
相關試題
