<多選>甲、乙兩班各有\(40\)位 同學參加某次數學考試（總分為\(100\)分）,考試後甲、乙兩班分別以\(y_1 = 0.8x_1 + 20\)和\(y_2 = 0.75x_2 + 25\)的方式來調整分數,其中\(x_1\), \(x_2\)分別代表甲、乙兩班的原始考試 分數,\(y_1\), \(y_2\)分別代 表甲、乙兩 班調整後 的 分數。已知 調整 後兩 班 的平均 分數均為\(60\)分,調整後的標準差分別為\(16\)分和\(15\)分。試選出正確的選項。
(1) 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數；
(2) 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高；
(3) 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高；
(4) 若甲班\(A\)同學調整後的分數比乙班\(B\)同學調整後的分數高,則\(A\)同學的原始分數比\(B\)同學的原始分數高；
(5) 若甲班調整後不及格（小於\(60\)分）的人數比乙班調整後不及格的人數多,則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多
答案
$\begin{align*}
&(1) ○：由x_1>0.8x_1+20得x_1>100，即超100分調整後分數低於原始分；\\
\\
&(2) ○：計算平均數：\mu_{x_1}=\frac{60-20}{0.8}=50，\mu_{x_2}=\frac{60-25}{0.75}=46.\dot{6}，故\mu_{x_1}>\mu_{x_2}；\\
\\
&(3) ×：計算標準差：\sigma_{x_1}=\frac{16}{0.8}=20，\sigma_{x_2}=\frac{15}{0.75}=20，故\sigma_{x_1}=\sigma_{x_2}；\\
\\
&(4) ○：由0.8x_1+20>0.75x_2+25推得x_1-x_2\geq\frac{1}{16}(100-x_2)\geq0，故x_1>x_2；\\
\\
&(5) ×：僅能知甲班原始分未滿50分的人數多於乙班未滿46.\dot{6}分的人數；\\
\\
&故選(1)(2)(4)。
\end{align*}$
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
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