<多選>有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤靶子，其圓心分別為 (2,2)、(4,6) 與 (8,1)。玩家選定一正數 \( a \)，並按下按鈕後，發射台將向點 (1,a) 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（則過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。
(1) 雷射光束落在通過原點且斜率為 \( a \) 的直線上
(2) 若 \( a = \frac{3}{2} \)，則雷射光束會擊中圓心為 (4,6) 的圓盤靶子
(3) 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
(4) 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
(5) 玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 (8,1) 的圓盤靶子，則 \( a \leq \frac{16}{63} \)
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**略解：**
1. 方向向量為 \((1,a)\)，所以直線方程為 \(y = a x\)。
(1) 說「斜率為 \(a\)」正確，因為方向向量 (1,a) 對應斜率 \(a\)，且過原點。
**⇒ (1) 正確**
2. 檢查 \(a = \frac{3}{2}\) 時是否擊中圓心 (4,6) 的圓盤：
圓心 (4,6)，半徑 1。
直線 \(y = \frac{3}{2}x\) 到圓心 (4,6) 的距離：
點到直線距離公式：直線 \(y = \frac{3}{2}x\) 可寫為 \(3x - 2y = 0\)。
距離 \(d = \frac{|3\cdot 4 - 2\cdot 6|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|12-12|}{\sqrt{13}} = 0\)。
距離 0 表示直線通過圓心，一定擊中。
**⇒ (2) 正確**
3. 能否一發擊中三個圓盤？
即找一條過原點的直線，與三個圓（圓心半徑 1）都相交。
圓心 (2,2) 與原點距離 \(\sqrt{8} \approx 2.828\)，半徑 1，原點在圓外。
圓心 (4,6) 與原點距離 \(\sqrt{52} \approx 7.211\)，半徑 1。
圓心 (8,1) 與原點距離 \(\sqrt{65} \approx 8.062\)，半徑 1。
從原點出發的射線要穿過三個圓，需要三個圓的「視線範圍」有重疊。
我們可以畫圖想像：
- 圓 (2,2) 的視線角範圍：從原點看圓心 (2,2) 方向角 45°，半徑 1 造成的角半徑約 \(\arcsin(1/\sqrt{8}) \approx \arcsin(0.3536) \approx 20.7°\)。
- 圓 (4,6) 方向角 \(\theta = \arctan(6/4) = \arctan(1.5) \approx 56.31°\)，角半徑 \(\arcsin(1/\sqrt{52}) \approx \arcsin(0.1387) \approx 7.97°\)。
- 圓 (8,1) 方向角 \(\theta = \arctan(1/8) \approx 7.125°\)，角半徑 \(\arcsin(1/\sqrt{65}) \approx \arcsin(0.1240) \approx 7.12°\)。
這些角區間：
圓1：\(45° \pm 20.7°\) → 約 [24.3°, 65.7°]
圓2：\(56.31° \pm 7.97°\) → 約 [48.34°, 64.28°]
圓3：\(7.125° \pm 7.12°\) → 約 [0.005°, 14.245°]
圓3 的區間與前兩個完全不重疊，所以不可能一直線同時穿過圓3 與圓1、圓2。
**⇒ (3) 錯誤**
4. 至少需要幾發？
因為圓3 與圓1、圓2 的角範圍無重疊，所以一發最多擊中兩個圓（圓1 與圓2 有可能同時擊中，但圓3 必須另一發）。
所以至少需要 2 發，不是 3 發。
**⇒ (4) 錯誤**
5. 擊中圓心 (8,1) 的圓盤時 \(a \le \frac{16}{63}\)？
圓心 (8,1)，半徑 1。直線 \(y=ax\) 與圓 \((x-8)^2+(y-1)^2=1\) 有交點（且交點在 \(x>0\) 射線部分）。
代入 \(y=ax\)：
\[
(x-8)^2 + (ax - 1)^2 = 1
\]
\[
x^2 - 16x + 64 + a^2 x^2 - 2a x + 1 = 1
\]
\[
(1+a^2)x^2 - (16+2a)x + 64 = 0
\]
要有實數解：判別式 \(D \ge 0\)
\[
(16+2a)^2 - 4(1+a^2)\cdot 64 \ge 0
\]
\[
256 + 64a + 4a^2 - 256 - 256a^2 \ge 0
\]
\[
64a + 4a^2 - 256a^2 \ge 0
\]
\[
64a - 252a^2 \ge 0
\]
\[
a(64 - 252a) \ge 0
\]
因 \(a>0\)，得 \(64 - 252a \ge 0 \Rightarrow a \le \frac{64}{252} = \frac{16}{63}\)。
但這是「有交點」的條件，但交點必須在 \(x>0\) 且是射線方向（即從原點出發的第一個交點在圓上）。
我們已得 \(a \le \frac{16}{63}\) 時，直線與圓有交點。
但需檢查是否為「擊中」：原點到圓心的距離大於半徑，直線若與圓有交點，則射線會擊中圓（因為原點在圓外，直線與圓有兩個交點，射線會先碰到一個）。
所以條件正確。
**⇒ (5) 正確**
正確選項：**(1)(2)(5)** 報錯
ChatGPT DeepSeek
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