<單選>某甲計算多項式 \(f(x) = x^{3}+ax^{2}+bx + c\) 除以 \(g(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\) 的餘式,其中 \(a, b, c, d\) 為實數,且 \(a\neq0\)。他誤看成 \(g(x)\) 除以 \(f(x)\),計算後得出餘式為 \(-3x – 17\)。假設 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\)正確的餘式等於 \(px^{2}+qx + r\),則 \(p\) 的值會等於下列哪個選項？(1) \(-3\) (2) \(-1\) (3) \(0\) (4) \(2\) (5) \(3\)
答案
設 \(g(x)=m(x)f(x)+(-3x - 17)\),因為 \(f(x)\) 是三次多項式,\(g(x)\) 也是三次多項式,所以 \(m(x)\) 為常數,設 \(m(x)=k\),則 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=k(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17\),比較三次項系數得 \(k = a\),即 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=a(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17\),展開得 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=ax^{3}+a^{2}x^{2}+abx + ac - 3x - 17\),比較二次項系數 \(b = a^{2}\),一次項系數 \(c = ab - 3\)。那麽 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\) 時,由於 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 最高次項次數相同,商為 \(\frac{1}{a}\),余式為 \(f(x)-\frac{1}{a}g(x)\),經計算可得 \(p = 0\)。答案：(3) 報錯
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