<多選>在球心為 \(O\) 的球形地球儀上,有 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\) 五個點,其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三點都在赤道上,且經度分別為東經 \(0^{\circ}\)、\(60^{\circ}\) 和 \(90^{\circ}\)；\(D\)、\(E\) 兩點都在北緯 \(30^{\circ}\) 線上,且經度分別為東經 \(0^{\circ}\)、\(180^{\circ}\)。試選出正確的選項。
(1) 赤道的長度等於東經 \(0^{\circ}\) 和 \(180^{\circ}\) 這兩條經線長度的總和
(2) 北緯 \(45^{\circ}\) 線的長度等於赤道長度的 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(3) 「由 \(A\) 沿赤道移動到 \(B\) 的最短路徑長」等於「由 \(D\) 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線移動到北極點的路徑長」
(4) 「由 \(D\) 沿北緯 \(30^{\circ}\) 線移動到 \(E\) 的路徑長」等於「由 \(D\) 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線移動到北極點,再由北極點沿東經 \(180^{\circ}\) 經線移動到 \(E\) 的路徑長的總和」
(5) 通過北極點與 \(A\) 點的直線與通過北極點與 \(C\) 點的直線互相垂直
答案
$\begin{align*}
&(1) ○：皆為大圓的圓周長；\\
\\
&(2) ×：設地球半徑為r，北緯45°線半徑為\frac{r}{\sqrt{2}}，故其長度為赤道的\frac{1}{\sqrt{2}}；\\
\\
&(3) ○：\overrightarrow{OA}與\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OD}與\overrightarrow{ON}夾角均60°，故弧長\widehat{AB}=\widehat{DN}=2\pi r×\frac{1}{6}=\frac{\pi r}{3}；\\
\\
&(4) ×：北緯30°線路徑長為\frac{\sqrt{3}\pi r}{2}，另一路徑長為\frac{2\pi r}{3}，兩者不等；\\
\\
&(5) ×：\overline{NA}=\overline{NC}=\overline{AC}=\sqrt{2}r，\triangle NAC為正三角形，\overrightarrow{NA}與\overrightarrow{NC}夾角60°，不垂直；\\
\\
&故選(1)(3)。
\end{align*}$
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
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