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113學測數學B試題-11


<多選>某國家過去五年的碳排放總量,由第 1 年的 \( X \) 億公噸二氧化碳當量 (CO2e) 下降至第 5 年的 \( Y \) 億公噸二氧化碳當量 (CO2e),達到每年平均減碳 5\% 的效益,亦即 \( Y = (1 – 0.05)^4 X \)。

將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表,其中
第 \( n \) 年碳排放成長率 \( = \dfrac{(\text{第 } n \text{ 年碳排放總量}) – (\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量})}{\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量}} \),\( n = 2, 3, 4, 5 \)。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{第 1 年} & \text{第 2 年} & \text{第 3 年} & \text{第 4 年} & \text{第 5 年} \\
\hline
\text{碳排放總量} & X & A & B & C & Y \\
\text{(億公噸 CO2e)} & & & & & \\
\hline
\text{碳排放年成長率} & \diagdown & -0.07 & p & q & r \\
\hline
\end{array}
\]

試選出正確的選項。

(1) \( A = 0.93X \)

(2) \( Y \leq 0.8X \)

(3) \( \dfrac{-0.07 + p + q + r}{4} = -0.05 \)

(4) \( \sqrt[4]{\dfrac{Y}{X}} – 1 = -0.05 \)

(5) \( 0.93(1+p)(1+q)(1+r) = (0.95)^4 \)

答案

$\begin{align*}
&(1) ○:由\frac{A-X}{X}=-0.07得A=0.93X;\\
&(2) ×:計算(1-0.05)^4≈0.815,故Y≈0.815X>0.8X;\\
&(3) ×:平均成長率需用幾何平均數,非算術平均;\\
&(4) ○:由Y=(1-0.05)^4X,得\sqrt[4]{\frac{Y}{X}}-1=0.95-1=-0.05;\\
&(5) ○:由幾何平均得\sqrt[4]{0.93(1+p)(1+q)(1+r)}=0.95,即0.93(1+p)(1+q)(1+r)=0.95^4;\\
\\
&故選(1)(4)(5)。
\end{align*}$


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