<多選>
小明寫了一個程式讓機器人在\(2×2\)的棋盤中移動,如圖所示。每執行一次,程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向,不同方向被選擇的機率均相等,並指示機器人依該方向移動一格,但若選到的方向會跑出棋盤,則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動,假設機器人的初始位置在\(A\)。 令執行程式\(n\)次後,機器人停留在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的機率分別為\(a_n\)、\(b_n\)、\(c_n\)和\(d_n\)。試選出正確的選項。(1) \(b_1 = 0\)；
(2) \(b_2=\frac{1}{8}\)；
(3) \(a_2+d_2=\frac{3}{4}\)；
(4) \(b_{99}=c_{99}\)；
(5) \(a_{100} + d_{100} \gt\frac{ 1}{2}\)
我們一步步推理。
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**1. 初始位置與一步轉移**
初始位置：\(A\)（機率 1）
從 \(A\) 移動：
- 右 → \(B\)（機率 \(1/4\)）
- 下 → \(C\)（機率 \(1/4\)）
- 左 → 出界 → 留在 \(A\)（機率 \(1/4\)）
- 上 → 出界 → 留在 \(A\)（機率 \(1/4\)）
所以：
\[
a_1 = \frac12, \quad b_1 = \frac14, \quad c_1 = \frac14, \quad d_1 = 0
\]
**(1)** \(b_1 = \frac14\) ✅
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**2. 兩步轉移**
從 \(B\)：
- 左 → \(A\)（\(1/4\)）
- 右 → 出界 → 留在 \(B\)（\(1/4\)）
- 下 → \(D\)（\(1/4\)）
- 上 → 出界 → 留在 \(B\)（\(1/4\)）
所以 \(B \to A: 1/4, \quad B \to B: 1/2, \quad B \to D: 1/4, \quad B \to C: 0\)
從 \(C\)：
- 上 → \(A\)（\(1/4\)）
- 下 → 出界 → 留在 \(C\)（\(1/4\)）
- 右 → \(D\)（\(1/4\)）
- 左 → 出界 → 留在 \(C\)（\(1/4\)）
所以 \(C \to A: 1/4, \quad C \to C: 1/2, \quad C \to D: 1/4, \quad C \to B: 0\)
從 \(D\)：
- 左 → \(C\)（\(1/4\)）
- 右 → 出界 → 留在 \(D\)（\(1/4\)）
- 上 → \(B\)（\(1/4\)）
- 下 → 出界 → 留在 \(D\)（\(1/4\)）
所以 \(D \to C: 1/4, \quad D \to D: 1/2, \quad D \to B: 1/4, \quad D \to A: 0\)
計算 \(n=2\)：
\[
a_2 = a_1 \cdot \frac12 + b_1 \cdot \frac14 + c_1 \cdot \frac14 + d_1 \cdot 0
= \frac12 \cdot \frac12 + \frac14 \cdot \frac14 + \frac14 \cdot \frac14
= \frac14 + \frac1{16} + \frac1{16} = \frac38
\]
\[
b_2 = a_1 \cdot \frac14 + b_1 \cdot \frac12 + c_1 \cdot 0 + d_1 \cdot \frac14
= \frac12 \cdot \frac14 + \frac14 \cdot \frac12 + 0 + 0
= \frac18 + \frac18 = \frac14
\]
**(2)** \(b_2 = \frac18\) ❌
\[
c_2 = a_1 \cdot \frac14 + b_1 \cdot 0 + c_1 \cdot \frac12 + d_1 \cdot \frac14
= \frac12 \cdot \frac14 + 0 + \frac14 \cdot \frac12 + 0
= \frac18 + \frac18 = \frac14
\]
\[
d_2 = a_1 \cdot 0 + b_1 \cdot \frac14 + c_1 \cdot \frac14 + d_1 \cdot \frac12
= 0 + \frac1{16} + \frac1{16} + 0 = \frac18
\]
**(3)** \(a_2 + d_2 = \frac38 + \frac18 = \frac12\)，不是 \(\frac34\) ❌
---
**3. 對稱性**
棋盤結構對稱：\(B\) 與 \(C\) 地位相同（初始在 \(A\) 時 \(b_n = c_n\) 對所有 \(n \ge 1\) 成立）。
**(4)** \(b_{99} = c_{99}\) ✅
---
**4. \(a_n + d_n\) 的性質**
計算 \(a_{n+1} + d_{n+1}\)：
\[
a_{n+1} = \frac12 a_n + \frac14 b_n + \frac14 c_n
\]
\[
d_{n+1} = \frac14 b_n + \frac14 c_n + \frac12 d_n
\]
相加：
\[
a_{n+1} + d_{n+1} = \frac12 a_n + \frac12 b_n + \frac12 c_n + \frac12 d_n
\]
但 \(b_n + c_n = 1 - a_n - d_n\)（因為 \(b_n = c_n\) 且總和為 1），代入：
\[
a_{n+1} + d_{n+1} = \frac12 a_n + \frac12(1 - a_n - d_n) + \frac12 d_n
= \frac12 a_n + \frac12 - \frac12 a_n - \frac12 d_n + \frac12 d_n = \frac12
\]
所以 \(n \ge 1\) 時 \(a_n + d_n = \frac12\) 恆成立。
**(5)** \(a_{100} + d_{100} > \frac12\) ❌
---
**正確選項：** (1), (4)
\[
\boxed{1,4}
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