<多選>已知多項式\(f(x)\)除以\(x^{2}+5x + 1\)後,所得出的商式為\(x^{3}+7x^{2}+x + 3\),試選出下列可能為\(f(x)\)的選項。(1) \(2(x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)\)；(2) \((x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)-x\)；(3) \((x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)+x^{2}\)；(4) \((x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x\)；(5) \((x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x^{2}\)
我們已知：
\[
f(x) = (x^2 + 5x + 1)(x^3 + 7x^2 + x + 3) + r(x),
\]
其中 \( r(x) \) 是餘式，且 \(\deg r(x) < 2\)。
所以 \( r(x) = ax + b \)，其中 \( a, b \) 是常數。
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**檢查選項：**
(1) \( 2(x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) \)
這相當於 \( f(x) = 2Q(x)D(x) \)，商式是 \( 2Q(x) \)，不是 \( Q(x) \)，不符合題目給的商式。 ❌
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(2) \( (x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) - x \)
這相當於 \( f(x) = Q(x)D(x) - x \)，商式 \( Q(x) \)，餘式 \( -x \)，符合條件。 ✅
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(3) \( (x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) + x^2 \)
餘式 \( x^2 \)，但 \(\deg x^2 = 2\)，不滿足餘式次數 < 2，所以商式會改變。 ❌
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(4) \( (x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x \)
設 \( Q_1(x) = x^3 + 7x^2 + x + 4 \)，比題目給的商式 \( Q(x) \) 多 1（常數項差 1）。
\[
f(x) = Q_1(x)D(x) - x = [Q(x) + 1]D(x) - x
= Q(x)D(x) + D(x) - x.
\]
這相當於商式 \( Q(x) \)，餘式 \( D(x) - x = (x^2 + 5x + 1) - x = x^2 + 4x + 1 \)，次數 2，不行。 ❌
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(5) \( (x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x^2 \)
\[
f(x) = [Q(x) + 1]D(x) - x^2
= Q(x)D(x) + D(x) - x^2
= Q(x)D(x) + (x^2 + 5x + 1 - x^2)
= Q(x)D(x) + (5x + 1).
\]
餘式 \( 5x + 1 \)，次數 1，商式 \( Q(x) \)，符合條件。 ✅
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所以正確選項是 **(2)** 和 **(5)**。
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**答案：** \(\boxed{2,5}\) 報錯
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