<多選>已知某等差數列的首項是\(1\),末項是\(81\),且\(9\)也在此數列中。設此數列的項數為\(n\),其中\(n \leq 100\)。試選出正確的選項。(1) \(n\)為奇數；(2) \(41\)必在此等差數列；(3) 滿足條件的等差數列,其公差都是整數；(4) 滿足條件的等差數列共有\(10\)個；(5) 若\(n\)為\(7\)的倍數,則\(n = 21\)
設等差數列公差為\(d\),\(a_n = a_1 + (n - 1)d\),即\(81 = 1 + (n - 1)d\),\(d = \frac{80}{n - 1}\),又\(9 = 1 + (m - 1)d\),可得\(d = \frac{8}{m - 1}\),所以\(\frac{80}{n - 1} = \frac{8}{m - 1}\),\(n - 1 = 10(m - 1)\)。
1. 對於(1),\(n - 1 = 10(m - 1)\),\(n = 10m - 9\),\(n\)為奇數,(1)正確。
2. 對於(2),\(a_k = 1 + (k - 1)d = 41\),\(40=(k - 1)d\),由\(d = \frac{80}{n - 1}\),可得\(40=(k - 1)\frac{80}{n - 1}\),\(n - 1 = 2(k - 1)\),又\(n = 10m - 9\),可推出\(41\)必在此數列,(2)正確。
3. 對於(3),\(d = \frac{80}{n - 1}\),\(n - 1\)是\(80\)的正約數,\(d\)不一定是整數,(3)錯誤。
4. 對於(4),\(n - 1\)是\(80\)的正約數,\(n - 1\)取值有限,滿足\(n \leq 100\)的等差數列個數有限且不為\(10\)個,(4)錯誤。
5. 對於(5),\(n = 10m - 9\),若\(n\)是\(7\)的倍數,\(10m - 9 = 7s\),\(10m = 7s + 9\),經分析可得\(n = 21\vee13\)時滿足,(5)不一定正確。答案：(1)(2) 報錯
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