<非選擇>19. 已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 $ x $ 小時（$ 0 \leq x \leq 12 $）的 UVI 數值，可用函數 $ f(x) = a\sin(bx) $ 來表示，其中 $ a, b > 0 $。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 $ f(0) = f(12) = 0 $），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 $ a $、$ b $ 之值。（非選擇題，6 分）
已知：
- $ f(x) = a\sin(bx) $
- $ f(0) = 0 $，$ f(12) = 0 $
- $ f(2) = 4 $
#### 步驟一：由 $ f(12) = 0 $ 求 $ b $
$$
f(12) = a\sin(12b) = 0 \Rightarrow \sin(12b) = 0
\Rightarrow 12b = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}
\Rightarrow b = \frac{n\pi}{12}
$$
又因 $ f(x) $ 在 $ [0,12] $ 上為正（日照時），且為正弦函數，故應為**半個正弦波**，即從 0 上升至最大再下降回 0。
→ 所以週期為 24 小時，但只取前半段 → 半週期為 12 小時
→ 正弦函數在 $ x=6 $ 時達最大值
因此，$ \sin(bx) $ 的週期為 24，即：
$$
\frac{2\pi}{b} = 24 \Rightarrow b = \frac{\pi}{12}
$$
（或直接由 $ 12b = \pi $ 得 $ b = \frac{\pi}{12} $，對應第一個零點）
#### 步驟二：代入 $ f(2) = 4 $
$$
f(2) = a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4
\Rightarrow a = 8
$$
---
### ✅ 答案：
- $ a = 8 $
- $ b = \dfrac{\pi}{12} $
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### **簡化略解（繁體）：**
由 $ f(12) = 0 $ 且為正弦型，得半週期為 12 小時 ⇒ $ b = \dfrac{\pi}{12} $
代入 $ f(2) = 4 $：
$$
a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow a = 8
$$
**答：** $ a = 8 $，$ b = \dfrac{\pi}{12} $ 報錯
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