<多選>設 \(f(x) = x^4 – 5x^3 + x^2 + ax + b\) 為實係數多項式,且知 \(f(i) = 0\)（其中 \(i^2 = -1\)）。請問下列哪些選項是多項式方程式 \(f(x) = 0\) 的根？
(1) \(-i\)
(2) 0
(3) 1
(4) \(-5\)
(5) 5
答案
\[
\begin{aligned}
\text{已知：} & f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 + ax + b \in \mathbb{R}[x], \quad f(i) = 0 \\
\\
\text{步驟一：} & \text{由虛根成對定理，} f(-i) = 0 \\
& \Rightarrow (x-i) \text{ 和 } (x+i) \text{ 均為 } f(x) \text{ 的因式} \\
& \Rightarrow (x-i)(x+i) = x^2 + 1 \mid f(x) \\
\\
\text{步驟二：} & \text{執行多項式長除法：} \\
& f(x) \div (x^2 + 1) = x^2 - 5x \\
\\
\text{步驟三：} & \text{完全因式分解：} \\
& f(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 5x) = x(x-5)(x^2+1) \\
\\
\text{步驟四：} & \text{求方程式 } f(x) = 0 \text{ 的根：} \\
& x_1 = 0,\ x_2 = 5,\ x_3 = i,\ x_4 = -i \\
\\
\text{結論：} & \text{選項 (1) } x=0,\ (2) \ x=5,\ (5) \ x^2+1 \text{ 為因式}
\end{aligned}
\]
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