101學測數學考科-20

機率, 空間幾何

<選填>坐標空間中,在六個平面 \(x = \frac{14}{13}\), \(x =\frac{1}{13}\), \(y = -1\), \(y = -1\), \(z = -1\) 及 \(z = -4\) 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同,則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為 \(\boxed{\frac{~~~~~~}{~~~~~~}}\)。

答案

\[
\begin{aligned}
& \text{長方體尺寸：} 2 \times 1 \times 3 \\
& \text{所有頂點連線組合數：} C_8^2 = 28 \\
\\
& \text{兩頂點距離 > 3 的條件：選擇面的對角線頂點} \\
& \text{符合條件的組合（12 組）：} \\
& \quad AH, AF, AG, BG, BE, BH, CH, CF, CE, DE, DG, DF \\
\\
& \text{機率 } = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}
\end{aligned}
\]

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