<多選>設 \(n\) 為正整數,符號 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\) 代表矩陣 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 自乘 \(n\) 次。令 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\),請選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 1\)
(2) \(a_1, a_2, a_3\) 為等比數列
(3) \(d_1, d_2, d_3\) 為等比數列
(4) \(b_1, b_2, b_3\) 為等差數列
(5) \(c_1, c_2, c_3\) 為等差數列
答案
計算矩陣的冪次：
- \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\)
因此：
- \(a_2 = 1\),(1) 正確。
- \(a_1, a_2, a_3\) 為 1, 1, 1,不是等比數列,(2) 錯誤。
- \(d_1, d_2, d_3\) 為 2, 4, 8,是等比數列,(3) 正確。
- \(b_1, b_2, b_3\) 為 1, 3, 7,不是等差數列,(4) 錯誤。
- \(c_1, c_2, c_3\) 為 0, 0, 0,是等差數列,(5) 正確。
正確答案是 (1)(3)(5)。 報錯
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