103學測數學考科-05

二項式定理

<單選>設 \((1 + \sqrt{2})^6 = a + b\sqrt{2}\),其中 \(a, b\) 為整數。請問 \(b\) 等於下列哪一個選項？
(1) \( C_0^6 + 2C_2^6 + 2^2 C_4^6 + 2^3 C_6^6 \)
(2) \( C_1^6 + 2C_3^6 + 2^2 C_5^6 \)
(3) \( C_0^6 + 2C_1^6 + 2^2 C_2^6 + 2^3 C_3^6 + 2^4 C_4^6 + 2^5 C_5^6 + 2^6 C_6^6 \)
(4) \( 2C_1^6 + 2^2 C_3^6 + 2^3 C_5^6 \)
(5) \( C_0^6 + 2^2 C_2^6 + 2^4 C_4^6 + 2^6 C_6^6 \)

答案

根據二項式定理,\((1 + \sqrt{2})^6 = \sum\limits_{k=0}^6 C_k^6 (\sqrt{2})^k\)。因此,\(b = C_1^6 + 2C_3^6 + 2^2C_5^6\)。正確答案是 (2)。

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