<選填>坐標平面上,若直線 \(y = ax + b\)（其中 \(a, b\) 為實數）與二次函數 \(y = x^2\) 的圖形恰交於一點,亦與二次函數 \(y = (x – 2)^2 + 12\) 的圖形恰交於一點,則 \(a = \boxed{~~~~~~~~~~}\),\(b = \boxed{~~~~~~~~~~}\)。
答案
已知直線 \(y = ax + b\) 與拋物線 \(y = x^2\) 恰交於一點，聯立得：
\[
x^2 = ax + b \quad \Rightarrow \quad x^2 - ax - b = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_1 = (-a)^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b = 0 \tag{1}
\]
又該直線與拋物線 \(y = (x-2)^2 + 12\) 恰交於一點，聯立：
\[
(x-2)^2 + 12 = ax + b
\]
\[
x^2 - 4x + 4 + 12 - ax - b = 0
\]
\[
x^2 - (a+4)x + (16 - b) = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_2 = [-(a+4)]^2 - 4(1)(16-b) = a^2 + 8a + 16 - 64 + 4b = 0
\]
\[
a^2 + 8a + 4b - 48 = 0 \tag{2}
\]
解 (1)、(2)：
(2) − (1) 得：
\[
(a^2 + 8a + 4b - 48) - (a^2 + 4b) = 0
\]
\[
8a - 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 6
\]
代入 (1)：
\[
6^2 + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -36 \quad \Rightarrow \quad b = -9
\]
故所求：
\[
a = 6,\quad b = -9
\]
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