<選填>小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種 8 盆,可以不必擺滿,並且每種花至少一盆,則小燦買盆栽的方法共有 \(\boxed{~~~~~~~~~~}\) 種。
### 步驟1：轉化問題
設玫瑰、百合、菊花、向日葵分別種 \( x, y, z, w \) 盆，滿足 \( x + y + z + w \leq 8 \)，且 \( x, y, z, w \geq 1 \)。
令 \( x' = x - 1 \)，\( y' = y - 1 \)，\( z' = z - 1 \)，\( w' = w - 1 \)（則 \( x', y', z', w' \geq 0 \)），問題轉化為求 \( x' + y' + z' + w' \leq 4 \)（因為 \( 8 - 4 = 4 \)）的非負整數解的個數。
### 步驟2：分情況討論（按剩餘盆數 \( k = x' + y' + z' + w' \)，\( k = 0,1,2,3,4 \)）
- 當 \( k = 0 \) 時：只有 \( 1 \) 種方法（四盆花各一盆）。
- 當 \( k = 1 \) 時：從4種花中選1種多植1盆，有 \( \binom{4}{1} = 4 \) 種方法。
- 當 \( k = 2 \) 時：
- 選1種花多植2盆：\( \binom{4}{1} = 4 \) 種；
- 選2種花各多植1盆：\( \binom{4}{2} = 6 \) 種；
共 \( 4 + 6 = 10 \) 種。
- 當 \( k = 3 \) 時：
- 選1種花多植3盆：\( \binom{4}{1} = 4 \) 種；
- 選1種花多植2盆、另1種花多植1盆：\( \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 12 \) 種；
共 \( 4 + 12 = 16 \) 種。
- 當 \( k = 4 \) 時：
- 選1種花多植4盆：\( \binom{4}{1} = 4 \) 種；
- 選1種花多植3盆、另1種花多植1盆：\( \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 12 \) 種；
- 選2種花各多植2盆：\( \binom{4}{2} = 6 \) 種；
- 選1種花多植2盆、另2種花各多植1盆：\( \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 \) 種；
共 \( 4 + 12 + 6 + 12 = 34 \) 種。
### 步驟3：求和
將所有情況相加：\( 1 + 4 + 10 + 16 + 34 = 65 \) 種。
综上，小燦買盆栽的方法共有 \(\boxed{65}\) 種。 報錯
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