<選填>坐標平面上，直線 \( L_1 \) 與 \( L_2 \) 的方程式分別為 \( x + 2y = 0 \) 與 \( 3x – 5y = 0 \)。為了確定平面上某一定點 \( P \) 的坐標，從 \( L_1 \) 上的一點 \( Q_1 \) 偵測得向量 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，再從 \( L_2 \) 上的點 \( Q_2 \) 偵測得向量 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，則 \( P \) 點的坐標為（____ , ____）。
### 略解
要解決此問題，可透過**設點座標、利用直線方程與向量關係**建立方程組求解，步驟如下：
1. **設點座標**
設 \( P(x, y) \)，\( Q_1(a, b) \)（在 \( L_1 \) 上），\( Q_2(c, d) \)（在 \( L_2 \) 上）。
- 因 \( Q_1 \) 在 \( L_1: x + 2y = 0 \) 上，故 \( a + 2b = 0 \)；
- 因 \( Q_2 \) 在 \( L_2: 3x - 5y = 0 \) 上，故 \( 3c - 5d = 0 \)。
2. **由向量關係列方程**
- 由 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，得 \( \begin{cases} x - a = -7 \\ y - b = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} a = x + 7 \\ b = y - 9 \end{cases} \)；
- 由 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，得 \( \begin{cases} x - c = -6 \\ y - d = -8 \end{cases} \implies \begin{cases} c = x + 6 \\ d = y + 8 \end{cases} \)。
3. **代入直線方程解聯立**
- 將 \( a = x + 7 \)、\( b = y - 9 \) 代入 \( a + 2b = 0 \)，得：
\[
(x + 7) + 2(y - 9) = 0 \implies x + 2y = 11 \tag{1}
\]
- 將 \( c = x + 6 \)、\( d = y + 8 \) 代入 \( 3c - 5d = 0 \)，得：
\[
3(x + 6) - 5(y + 8) = 0 \implies 3x - 5y = 22 \tag{2}
\]
- 聯立 \( (1)(2) \)，由 \( (1) \) 得 \( x = 11 - 2y \)，代入 \( (2) \)：
\[
3(11 - 2y) - 5y = 22 \implies 33 - 6y - 5y = 22 \implies 11y = 11 \implies y = 1
\]
再代入 \( x = 11 - 2y \)，得 \( x = 11 - 2 \times 1 = 9 \)。
故 \( P \) 點的坐標為 \( \boxed{(9, 1)} \)。 報錯
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