105學測數學考科–10

<多選題>設 \( a, b, c \) 皆為正整數，考慮多項式 \( f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2 \)，請選出正確的選項。
(1) \( f(x) = 0 \) 無正根
(2) \( f(x) = 0 \) 一定有實根
(3) \( f(x) = 0 \) 一定有虛根
(4) \( f(1) + f(-1) \) 的值是偶數
(5)若 \( a + c \gt b + 3 \)，則 \( f(x) = 0 \) 有一根介於 -1 與 0 之間。

答案

(1) 當 \( x>0 \)，\( f(x)>0 \)，無正根。
(2) 反例：\( f(x)=(x^2+x+1)(x^2+2) \) 無實根。
(3) 反例：\( f(x)=(x+1)^3(x+2) \) 無虛根。
(4) \( f(1)+f(-1)=6+2b \) 為偶數。
(5) \( f(-1)=(b+3)-(a+c)<0 \)，\( f(0)=2>0 \)，由勘根定理有一根在 \((-1,0)\)。故選(1)(4)(5)。答案：(1)(4)(5)

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