<單選題>設 \((a_i)\) 為一等比數列。已知前十項的和為 \(\sum\limits_{i=1}^{10} a_i = 80\)，前五個奇數項的和為 \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 120\)，請選出首項 \( a_1 \) 的正確範圍。
(1) \( a_1 \lt 80 \) (2) \( 80 \leq a_1 \lt 90 \) (3) \( 90 \leq a_1 \lt 100 \) (4) \( 100 \leq a_1 \lt 110 \) (5) \( 110 \leq a_1 \)。
答案
設公比為 \( r \)。由 \( S_{10} = \frac{a_1(1-r^{10})}{1-r} = 80 \)，奇數項和 \( S_{奇} = \frac{a_1(1-r^{10})}{1-r^2} = 120 \)。相除得 \( 1+r = \frac{2}{3} \Rightarrow r = -\frac{1}{3} \)。代入得 \( a_1 (1 - (-\frac{1}{3})^{10}) = 80(1 - (-\frac{1}{3})) \Rightarrow a_1 \approx \frac{320}{3} \approx 106.67 \)。故選(4)。答案：(4) 報錯
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