<多選題>設\(f(x)\)為一未知的實係數多項式，但知道\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)^2\)的餘式為\(5x^2+6x+7\)。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
(1) 可求出\(f(0)\)之值
(2) 可求出\(f(1)\)之值
(3) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)^2\)的餘式
(4) 可求出\(f(x)\)除以\((x-6)^2\)的餘式
(5) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)\)的餘式
答案
設 \(f(x) = (x-5)(x-6)^2 Q(x) + 5x^2+6x+7\)。
(1) \(f(0) = 7\) 可求，正確。
(2) \(f(1) = 5+6+7=18\) 可求，正確。
(3) 欲求 \(f(x)\) 除以 \((x-5)^2\) 的餘式，設餘式 \(ax+b\)，由 \(f(5)=5\cdot 25+6\cdot 5+7=125+30+7=162\) 得 \(5a+b=162\)，但還需 \(f'(5)\)，而 \(f'(x)\) 可由餘式 \(5x^2+6x+7\) 在 \(x=5\) 的導數求得（因另一項在 \(x=5\) 時為0），\(f'(5)=10\cdot 5+6=56\)，又 \(f'(x)\) 對餘式部分為 \(a\)，所以 \(a=56\)，則 \(b=162-280=-118\)，可求，正確。
(4) 類似 (3)，用 \(x=6\) 及導數，可求，正確。
(5) 除以 \((x-5)(x-6)\) 的餘式次數 ≤1，設 \(ax+b\)，由 \(f(5)=162\)，\(f(6)=5\cdot 36+6\cdot 6+7=180+36+7=223\)，解 \(5a+b=162\)，\(6a+b=223\) 得 \(a=61\)，\(b=-143\)，可求，正確。
答案為 (1)(2)(3)(4)(5)。 報錯
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