<多選題>設\(f(x)\)為一未知的實係數多項式，但知道\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)^2\)的餘式為\(5x^2+6x+7\)。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
(1) 可求出\(f(0)\)之值
(2) 可求出\(f(1)\)之值
(3) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)^2\)的餘式
(4) 可求出\(f(x)\)除以\((x-6)^2\)的餘式
(5) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)\)的餘式
答案
(4)(5)。
由除法原理知：\( f(x) = (x-5)(x-6)^2 \cdot Q(x) + 5x^2 + 6x + 7 \)
1. ×：\( f(0) \)未知（因\( Q(0) \)未知）
2. ×：\( f(11) \)未知（因\( Q(11) \)未知）
3. ×：無法求出\( f(x) \)除以\( (x-5)^2 \)之餘式（因\( Q(x) \)除以\( x-5 \)之餘式未知）
4. ○：
\[
\begin{align*}
f(x) &= (x-5)(x-6)^2 \cdot Q(x) + 5x^2 + 6x + 7 \\
&= (x-6)^2 \cdot Q'(x) + 66x - 173
\end{align*}
\]
即\( f(x) \)除以\( (x-6)^2 \)之餘式，等於\( 5x^2 + 6x + 7 \)除以\( (x-6)^2 \)之餘式
5. ○：
承接4，
\[
\begin{align*}
f(x) &= (x-5)(x-6)^2 \cdot Q(x) + 5x^2 + 6x + 7 \\
&= (x-5)(x-6) \cdot Q''(x) + 61x - 143
\end{align*}
\]
即\( f(x) \)除以\( (x-5)(x-6) \)之餘式，等於\( 5x^2 + 6x + 7 \)除以\( (x-5)(x-6) \)之餘式
故選4、5。
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