<選填題>設 \( x, c \) 為實數，方陣 \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \)、\( B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} \)。已知 \( A \) 的反方陣恰好是 \( B \) 的 \( c \) 倍（其中 \( c \neq 0 \)），則數對 \((x, c) = (\underline{\qquad},\underline{\qquad})\)。（請化為最簡分數）
答案
\( A^{-1} = cB \) ⇒ \( A \cdot cB = I \) ⇒ \( c AB = I \) ⇒ \( AB = \frac{1}{c} I \)。
計算 \( AB = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+4 & -6+2x \\ -6+2x & 4+x^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 2x-6 \\ 2x-6 & x^2+4 \end{bmatrix} \)。
要等於 \( k I \)，則 \( 2x-6=0 \) ⇒ \( x=3 \)。
代入得 \( AB = \begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} = 13I \)，所以 \( \frac{1}{c} = 13 \) ⇒ \( c = \frac{1}{13} \)。
答案為 \((3, \frac{1}{13})\)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
