<多選題>最近數學家發現一種新的可以無縫密繪平面的凸五邊形 \( ABCDE \)，其示意圖如下。
關於這五邊形，請選出正確的選項。
(1) \( AD = 2\sqrt{2} \)
(2) \( \angle DAB = 45^\circ \)
(3) \( BD = 2\sqrt{6} \)
(4) \( \angle ABD = 45^\circ \)
(5) \( \triangle BCD \) 的面積為 \( 2\sqrt{2} \)。
答案
(1) \(AD = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)，正確。
(2) \(\angle DAB = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ\)，錯誤。
(3) \(BD^2 = (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2\sqrt{2})\cos 60^\circ = 12\)，\(BD=2\sqrt{3}\)，錯誤。
(4) 正弦定理：\(\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \angle ABD} \Rightarrow \sin \angle ABD = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\angle ABD=45^\circ\)，正確。
(5) \(\triangle BCD\) 為直角三角形，面積=\(\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)，錯誤。
故選(1)(4)。答案：(1)(4) 報錯
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