<多選題>坐標空間中，設直線 \( L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z}{-1} \)，平面 \( E_1: 2x-3y-z=0 \)，平面 \( E_2: x+y-z=0 \)。試選出正確的選項：
(1)點 (3,0,-1) 在直線 \( L \) 上
(2)點 (1,2,3) 在平面 \( E_1 \) 上
(3)直線 \( L \) 與平面 \( E_2 \) 垂直
(4)直線 \( L \) 在平面 \( E_2 \) 上
(5)平面 \( E_1 \) 與 \( E_2 \) 交於一直線。
答案
(1) 代入 L：\( \frac{3-1}{2}=1 \)，\( \frac{0-2}{-3}=\frac{2}{3} \)，不等 ✗。
(2) 代入 E1：\( 2-6-3=-7 \neq 0 \) ✗。
(3) L 方向向量 \( \vec{v}=(2,3,-1) \)，E2 法向量 \( \vec{n}_2=(1,1,-1) \)，\( \vec{v} \cdot \vec{n}_2 = 2+3+1=6 \neq 0 \) ✗。
(4) 參數式 \( (1+2t, 2+3t, -t) \) 代入 E2：\( (1+2t)+(2+3t)-(-t)=3+6t=0 \) 無解，故 L 與 E2 平行 ✗。
(5) E1 與 E2 法向量不平行，故交於一直線 ✓。
故選(5)。答案：(5) 報錯
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