<選填題>在坐標平面上的 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 為 \(\overline{AB}\) 的中點，且點 \(E\) 在射線 \(\overrightarrow{AC}\) 上，滿足 \(\overline{AE} = 3\overline{AC}\)。若向量內積 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 15\)，則向量內積 \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \underline{\quad}\)。
答案
設 \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}\)，\(\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}\)。
- 因 \(D\) 為 \(\overline{AB}\) 中點，故 \(\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}\)。
- 由 \(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}\)，得 \(\overrightarrow{AE} = 3\mathbf{c}\)。
已知 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \mathbf{c} \cdot \frac{1}{2}\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 15\)，故 \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 30\)。
因此，\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \mathbf{b} \cdot 3\mathbf{c} = 3(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 3 \times 30 = 90\)。 報錯
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