<多選題>已知多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 1 \) 之餘式為 \( 2x + 1 \)，試選出正確的選項：
(1) \( f(0) = 1 \)
(2) \( f(1) = 3 \)
(3) \( f(x) \) 可能為一次式
(4) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^2 – 3 \)
(5) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^3 – 3 \)。
答案
設 \( f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1) \)。
(1) \( f(0) = -Q(0)+1 \) 不一定為1。
(2) \( f(1) = 0 + 3 = 3 \) ✓。
(3) 若 \( Q(x)=0 \)，則 \( f(x)=2x+1 \) 為一次式 ✓。
(4) 計算 \( (4x^4+2x^2-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^2-2x-4 \)，除以 \( x^2-1 \) 不整除 ✗。
(5) 計算 \( (4x^4+2x^3-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^3-2x-4 \)，可被 \( x^2-1 \) 整除 ✓。
故選(2)(3)(5)。答案：(2)(3)(5) 報錯
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