<多選題>已知正整數 \(a\) 與正整數 \(b\) 的乘積是11位數，而 \(a\) 除以 \(b\) 的商之整數部分是2位數，則 \(a\) 可能為幾位數？
(1) 5位數
(2) 6位數
(3) 7位數
(4) 8位數
(5) 9位數
答案
已知對數關係：
\[
10 \leq \log(ab) < 11 \implies 10 \leq \log a + \log b < 11 \quad \dots \dots ①
\]
\[
1 \leq \log\frac{a}{b} < 2 \implies 1 \leq \log a - \log b < 2 \quad \dots \dots ②
\]
將①+②，得：
\[
11 \leq 2\log a < 13 \implies 5.5 \leq \log a < 6.5
\]
由對數意義可知：
- 若\(\log a \in [5.5, 6)\)，則\(a \in [10^{5.5}, 10^6)\)，即\(a\)是**6位數**；
- 若\(\log a \in [6, 6.5)\)，則\(a \in [10^6, 10^{6.5})\)，即\(a\)是**7位數**。
故\(a\)可能是6位數或7位數，選(2)(3)。
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