<多選題>設 \(f_1(x)\)、\(f_2(x)\) 為實係數三次多項式，\(g(x)\) 為實係數二次多項式。已知 \(f_1(x)\)、\(f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式分別為 \(r_1(x)\)、\(r_2(x)\)，試選出正確的選項。
(1) \(-f_1(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(-r_1(x)\)
(2) \(f_1(x)+f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)+r_2(x)\)
(3) \(f_1(x)f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)r_2(x)\)
(4) \(f_1(x)\) 除以 \(-3g(x)\) 的餘式為 \(\frac{-1}{3}r_1(x)\)
(5) \(f_1(x)r_2(x)-f_2(x)r_1(x)\) 可被 \(g(x)\) 整除。
答案
設\(f_i(x) = g(x)q_i(x) + r_i(x)\)，次數\(\deg(r_i) \lt 2\)。
(1) \(-f_1 = g(-q_1) + (-r_1)\)，餘式為\(-r_1\)。
(2) \(f_1+f_2 = g(q_1+q_2) + (r_1+r_2)\)，餘式為\(r_1+r_2\)。
(3) \(r_1 r_2\)可能為二次，不一定是餘式。
(4) 除式變為\(-3g\)，餘式仍為\(r_1\)。
(5) \(f_1 r_2 - f_2 r_1 = g(q_1 r_2 - q_2 r_1)\)，可被\(g\)整除。
故選(1)(2)(5)。答案：(1)(2)(5) 報錯
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