<多選題>已知正整數 \(a\) 與正整數 \(b\) 的乘積是11位數，而 \(a\) 除以 \(b\) 的商之整數部分是2位數，則 \(a\) 可能為幾位數？
(1) 5位數
(2) 6位數
(3) 7位數
(4) 8位數
(5) 9位數
答案
設 \(a\) 為 \(m\) 位數，\(b\) 為 \(n\) 位數，則 \(10^{m-1} \le a \lt 10^m\)，\(10^{n-1} \le b \lt 10^n\)。
乘積為 11 位數：\(10^{10} \le ab \lt 10^{11}\)。
商之整數部分為 2 位數：\(10 \le a/b \lt 100\)。
由 \(a/b \lt 100\) 得 \(a \lt 100b \lt 100 \cdot 10^n = 10^{n+2}\)，所以 \(m \le n+2\)。
由 \(a/b \ge 10\) 得 \(a \ge 10b \ge 10 \cdot 10^{n-1} = 10^n\)，所以 \(m \ge n\)。
由 \(ab \ge 10^{10}\) 得 \(m+n-1 \ge 10 \Rightarrow m+n \ge 11\)。
由 \(ab \lt 10^{11}\) 得 \(m+n-1 \lt 11 \Rightarrow m+n \lt 12\)。
所以 \(m+n = 11\)。
又 \(n \le m \le n+2\)，且 \(m+n=11\)，解得 \(m=5,6\) 對應 \(n=6,5\) 或 \(m=6,5\) 等，檢查得 \(m\) 可能為 5 或 6。
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