<多選題>坐標空間中有一平面\(P\)過\((0,0,0)\)，\((1,2,3)\)及\((-1,2,3)\)三點，試選出正確的選項。
(1)向量\((0,3,2)\)與平面\(P\)垂直
(2)平面\(P\)與平面\(y\)垂直
(3)點\((0,4,6)\)在平面\(P\)上
(4)平面\(P\)包含\(x\)軸
(5)點\((1,1,1)\)到平面\(P\)的距離是1。
答案
求法向量：\(\overset{\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\rightharpoonup}{OB} = (1,2,3) \times (-1,2,3) = (0,-6,4)\)，可取法向量\(\vec{n}=(0,3,-2)\)。平面方程式：\(3y-2z=0\)。
(1) \((0,3,2) \cdot (0,3,-2) = 6-4=2 \neq 0\)，不垂直。
(2) \(y\)平面法向量\((0,1,0)\)，與\(\vec{n}\)內積為3≠0，不垂直。
(3) 代入得\(3(4)-2(6)=12-12=0\)，在平面上。
(4) \(x\)軸上點滿足\(y=0,z=0\)，代入方程式成立，故包含x軸。
(5) 距離\(d=\frac{|3(1)-2(1)|}{\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}} \neq 1\)。
故選(3)(4)。答案：(3)(4) 報錯
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