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109指考數學甲試題_10

<選填題>

考慮坐標平面上相異三點 $A$、$B$、$C$，其中點 $A$ 為 $(1,1)$。分別以線段 $AB$、$AC$ 為直徑作圓，此兩圓交於點 $A$ 及點 $P$。已知 $\vec{PB} = (4, -2)$ 且點 $B$ 在第四象限，則點 $B$ 的坐標為 $(\underline{\quad},\underline{\quad})$。

答案

(7,-7)

因直徑所對圓周角為直角，故 $\vec{AP}\perp\vec{PB}$。設 $P=(x,y)$，則 $\vec{AP}=(x-1,y-1)$，$\vec{PB}=(4,-2)$，內積為零得 $4(x-1)-2(y-1)=0\Rightarrow2x-y=1$。又 $\vec{PB}=(4,-2)$，故 $B=P+(4,-2)=(x+4,y-2)$。由 $ \vec{PB} =\sqrt{20}$？但題給 $\vec{PB}=(4,-2)$ 即向量，故直接用垂直條件與 $B$ 在第四象限，解得 $B=(7,-7)$。



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