<選填題>
有一個三角形公園，其三頂點為 $O$、$A$、$B$，在頂點 $O$ 處有一座 150 公尺高的觀景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點 $A$、$B$ 與 $AB$ 的中點 $C$，測得其俯角分別為 $30^\circ$、$60^\circ$、$45^\circ$。則此三角形公園的面積為 【 】 平方公尺。（化成最簡根式）
答案
$7500\sqrt{2}$
設觀景台頂為 $H$，$HO=150$。由俯角得：$OA = 150/\tan30^\circ = 150\sqrt{3}$，$OB = 150/\tan60^\circ = 50\sqrt{3}$，$OC = 150/\tan45^\circ = 150$。在 $\triangle OAB$ 中，$C$ 為 $AB$ 中點，利用中線公式：$OC^2 = \frac{2OA^2 + 2OB^2 - AB^2}{4}$，代入解得 $AB^2 = 60000$。再由餘弦定理或向量法得 $\angle ABO = 90^\circ$，故面積 $= \frac{1}{2}\cdot OB\cdot AB = 7500\sqrt{2}$
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