<多選題>設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式函數且 \( f(x)=0 \) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \( f(0) \gt 0 \)
(2) \( f(1)f(2) \gt 0 \)
(3) 若 \( f(x)-1=0 \) 有實根，則 \( f(x)-2=0 \) 有實根
(4) 若 \( f(x)-1=0 \) 有重根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 沒有實根
(5) 若 \( f(x)-1=0 \) 有兩相異實根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 有實根
答案
針對函數\( y = f(x) \)的性質與方程實根分析如下：
### (1)×
\( f(x) \)可能是開口向上的二次函數（此時\( f(0) \)可正），也可能是開口向下的二次函數（此時\( f(0) \)可負），因此\( f(0) \)不一定大於0。
### (2)○
二次函數在全定義域內的函數值符號恆定（開口向上則恆非負，開口向下則恆非正），故\( f(1) \)與\( f(2) \)必同號，因此\( f(1)f(2) > 0 \)。
### (3)○
- 方程\( f(x) - 2 = 0 \)等價於\( f(x) = 2 \)；
- 二次函數的值域為「開口向上時，≥頂點縱坐標；開口向下時，≤頂點縱坐標」。若2屬於\( f(x) \)的值域且不等於頂點縱坐標，則方程有2個實根。
### (4)○
若\( \frac{1}{2} \)不屬於\( f(x) \)的值域（例如開口向上的二次函數，頂點縱坐標大於\( \frac{1}{2} \)），則\( f(x) = \frac{1}{2} \)無解，即\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)沒有實根。
### (5)×
\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)的實根個數取決於\( \frac{1}{2} \)與\( f(x) \)值域的關係：
- 若\( \frac{1}{2} \)不在值域內：0個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)等於頂點縱坐標：1個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)在值域內且不等於頂點縱坐標：2個實根。
因此實根個數不固定。
故選(2)(3)(4)。
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