<多選題>坐標平面上，設 \( a, b \) 為實數，已知目標函數 \( ax + by \) 在平面區域 \(\Omega\)：\(\begin{cases} 4x + y \leq 16 \\ -2x + 3y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)的最大值為12，且取得最大值的點不在坐標軸上。試選出正確的選項。
(1) \( 4a + 3b = 12 \)
(2) \( -\frac{a}{b} > -3 \)
(3) \( -\frac{a}{b} < \frac{2}{3} \)
(4) \( b \)可能為\(-3\)
(5) \( b \)可能為\( 1 \)
答案
區域頂點：\( (0,0) \)、\( (4,0) \)、\( (0,2) \)、交點 \( 4x+y=16 \) 與 \( -2x+3y=6 \) 得 \( (3,4) \)
最大值在 \( (3,4) \) 且不在坐標軸上，故 \( 3a+4b=12 \)
(1) 錯誤，應為 \( 3a+4b=12 \)
目標函數斜率 \( -\frac{a}{b} \) 介於邊界斜率之間：\( -4 < -\frac{a}{b} < \frac{2}{3} \)
(2) \( -\frac{a}{b} > -3 \) 不一定成立
(3) \( -\frac{a}{b} < \frac{2}{3} \) 正確
(4) 若 \( b=-3 \)，由 \( 3a+4(-3)=12 \) 得 \( a=8 \)，斜率 \( -\frac{8}{-3}=\frac{8}{3} \)，不在範圍內
(5) 若 \( b=1 \)，由 \( 3a+4=12 \) 得 \( a=\frac{8}{3} \)，斜率 \( -\frac{8}{3} \)，不在範圍內
答案：(3) 報錯
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