<多選題>坐標平面上，設 \( a, b \) 為實數，已知目標函數 \( ax + by \) 在平面區域 \(\Omega\)：\(\begin{cases} 4x + y \leq 16 \\ -2x + 3y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)的最大值為12，且取得最大值的點不在坐標軸上。試選出正確的選項。
(1) \( 4a + 3b = 12 \)
(2) \( -\frac{a}{b} > -3 \)
(3) \( -\frac{a}{b} < \frac{2}{3} \)
(4) \( b \)可能為\(-3\)
(5) \( b \)可能為\( 1 \)
\begin{align*}
&\boxed{【頂點法】} \\
&因為最大值必發生在頂點，我們將可行解區的頂點代入目標函數： \\
\\
&\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
(x, y) & (0, 2) & (3, 4) & (4, 0) & (0, 0) \\
\hline
ax + by & 2b & 3a + 4b & 4a & 0 \\
\hline
\end{array} \\
\\
&依題意，取得最大值的點為(3,4)，故 \ 3a + 4b = 12 \，且： \\
&\begin{cases}
3a + 4b = 12 > 2b \\
3a + 4b = 12 > 4a \\
3a + 4b = 12 > 0
\end{cases} \implies \begin{cases}
b < 6 \\
a < 3
\end{cases} \\
\\
&我們都可以將 \ a \ 用 \ 3a + 4b = 12 \ 代換：\ a = 4 - \frac{4b}{3}，故： \\
&a < 3 \implies 4 - \frac{4b}{3} < 3 \implies b > \frac{3}{4} \\
\\
&(1) \ 由上知 \ 3a + 4b = 12 \ ； \\
\\
&(2)(3)(4)(5)： \\
&-\frac{a}{b} = -\frac{4 - \frac{4b}{3}}{b} = -\frac{4}{b} + \frac{4}{3}，而 \ \frac{3}{4} < b < 6，所以： \\
&-\frac{16}{3} < -\frac{4}{b} < -\frac{2}{3} \implies -4 < -\frac{4}{b} + \frac{4}{3} < \frac{2}{3}，故 \ -4 < -\frac{a}{b} < \frac{2}{3}，因此(2)錯誤，(3)正確； \\
\\
&並得到 \ \frac{3}{4} < b < 6，所以(4)錯誤，(5)正確。
\end{align*}
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