4\sqrt{10}

解聯立方程得 $P\left(\frac{3}{4}t,\frac{1}{4}t, \frac{1}{2}t\right)$，故 $ \vec{OP} ^2 = \left(\frac{3t}{4}\right)^2 + \left(\frac{t}{4}\right)^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{10t^2}{16} = \frac{5t^2}{8}$。令其等於 $100$，得 $t^2 = 160$，$t = 4\sqrt{10}$（因 $t>0$）。

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