110學測數學考科_05

三次多項式一階導數, 多項式, 方程求解

<單選題>設 \( f(x) \) 為實係數三次多項式函數，滿足 \((x+1)f(x)\) 除以 \( x^3+2 \) 的餘式為 \( x+2 \)。若 \( f(0)=4 \)，則 \( f(2) \) 的值為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 10
(3) 15
(4) 18
(5) 20

答案

由除法原理：\((x+1)f(x) = (x^3+2)(ax+b) + (x+2)\)。令 \( x=0 \) 得 \( f(0) = 2b+2 = 4 \)，故 \( b=1 \)。令 \( x=-1 \) 得 \( 0 = ((-1)^3+2)(-a+b) + 1 = (1)(-a+1)+1 = -a+2 \)，故 \( a=2 \)。代入得 \((x+1)f(x) = (x^3+2)(2x+1) + (x+2)\)，令 \( x=2 \) 得 \( 3f(2) = (10)(5) + 4 = 54 \)，故 \( f(2)=18 \)。(4)

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