110學測數學考科_G

向量與其運算, 平面幾何圖形, 餘弦定理

<選填題>在四面體 \(ABCD\) 中，\(\overline{AB} = AC = AD = 4\sqrt{6} \cdot BD = CD = 8\)，且 \(\cos \angle BAC = \frac{1}{3}\)，則點 \(D\) 到平面 \(ABC\) 的距離為 \(\underline{\qquad\qquad}\)。（化成最簡根式）

答案

在 △ABC 中，由餘弦定理：BC² = (4√6)²+(4√6)² - 2×(4√6)×(4√6)×(1/3) = 96+96-64=128，BC=8√2。△BCD 中，BC=8√2, BD=CD=8，為等腰直角三角形，∠BDC=90°，外心 M 為 BC 中點。因 AB=AC=AD，故 A 在底面 BCD 的投影為 △BCD 外心 M，且平面 ABC ⊥ 平面 BCD。D 到平面 ABC 的距離即為 DM = BC/2 = 4√2。\( 4\sqrt{2} \)

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