<非選擇題>二、(3) 試求當倍數 \(x,y\) 分別為多少時，甲、乙兩型電動車的售價差距最大？此時甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元？
目標函數：差距 \(f(x,y) = 12x + 2y\)
在可行區域頂點求最大值：
頂點：
1. \((1,1)\)：\(f=12+2=14\)
2. \((1,2)\)：\(f=12+4=16\)
3. \((2,1)\)：\(f=24+2=26\)
4. \((2,2)\)：檢查是否在可行域：\(8\times2+5\times2=26>20\)（不可行）
5. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(x=2\) 交點：\(16+5y=20\) ⇒ \(y=0.8\)（不可行，y<1）
6. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(y=2\) 交點：\(8x+10=20\) ⇒ \(x=1.25\) ⇒ \((1.25,2)\)：\(f=15+4=19\)
7. 交點：\(17x+12y=50\) 與 \(x=2\) 交點：\(34+12y=50\) ⇒ \(y=\frac{4}{3}\approx 1.33\) ⇒ \((2,1.33)\)：\(f=24+2.67=26.67\)
8. 交點：\(17x+12y=50\) 與 \(y=2\) 交點：\(17x+24=50\) ⇒ \(x=\frac{26}{17}\approx 1.53\) ⇒ \((1.53,2)\)：\(f=18.36+4=22.36\)
9. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(17x+12y=50\) 聯立：
\(96x+60y=240\)，\(85x+60y=250\)，相減得 \(11x=-10\) ⇒ \(x<0\)（不可行）
最大值在 \((2,1.33)\)，但需檢查是否在可行域：
\(8\times2+5\times1.33=16+6.65=22.65>20\)（不可行）
重新檢驗：在 \(x=2\) 時，需滿足 \(8\times2+5y\leq 20\) ⇒ \(16+5y\leq 20\) ⇒ \(y\leq 0.8\)，但 \(y\geq 1\)，矛盾
故 \(x=2\) 時無可行解
最大值應在邊界 \(8x+5y=20\) 上，且 \(x=2\) 時 \(y=0.8\) 不可行，故最大值在 \(y=2\) 時 \(x=1.25\)，\(f=19\)
或在 \(17x+12y=50\) 上，當 \(x\) 最大時 \(f\) 最大，但需滿足 \(8x+5y\leq 20\)
經計算，最大值在 \((1.25,2)\)，\(f=19\)
答案：\(x=1.25\)，\(y=2\)，差距19萬元 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
