<選填題>已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為 \(\frac{1}{3}\)，出現反面的機率為 \(\frac{2}{3}\)。今在坐標平面上有一顆棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：
（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量 \((-1,2)\) 的方向與長度，前進至下一個位置；
（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量 \((1,0)\) 的方向與長度，前進至下一個位置。
例如：棋子目前位置在坐標 \((2,4)\)，若擲出反面，則棋子前進至坐標 \((3,4)\)。
假設棋子以原點 \((0,0)\) 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板6次，且每次投擲均互相獨立，則經過6次移動後，棋子停在坐標 \((\underline{\qquad}, \underline{\qquad})\) 的機率最大。
答案
設正面次數為k，反面次數為6-k。最終位置：\( x = -k + (6-k) = 6-2k \)，\( y = 2k \)。
機率 \( P(k) = C_6^k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{6-k} \)。比較相鄰機率：
\( \frac{P(k)}{P(k-1)} = \frac{C_6^k}{C_6^{k-1}} \cdot \frac{1/3}{2/3} = \frac{6-k+1}{k} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7-k}{2k} \)。
當 \( \frac{7-k}{2k} > 1 \) 時遞增，即 \( 7-k > 2k \)，\( 7 > 3k \)，\( k < 2.33 \)。故k=0,1,2遞增，k=2後遞減。最大機率在k=2。
此時坐標 \( x=6-4=2 \)，\( y=4 \)。答案：(2,4) 報錯
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