110指考物理分科考科_02

<單選題>假設在水波槽中，與水波波速可能有關的物理量為重力加速度 \( g \)、水的密度 \( \rho \) 與水深 \( D \)。若僅以上述三個物理量的因次來判斷波速 v，則下列何者正確？
(A) v 正比於 \( gD \)
(B) v 正比於 \( \rho gD \)
(C) v 正比於 \( \sqrt{gD} \)
(D) v 正比於 \( g\sqrt{\rho D} \)
(E) v 正比於 \( \frac{1}{\sqrt{gD}} \)。

答案

略解：設 \( [v] = [g]^x [\rho]^y [D]^z \)，代入因次：
\( LT^{-1} = (LT^{-2})^x (ML^{-3})^y L^z = L^{x-3y+z} T^{-2x} M^y \)。
比較得：\( y=0 \)，\( -2x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \)，\( x-3y+z=1 \Rightarrow z=\frac{1}{2} \)。
故 \( v \propto g^{1/2} D^{1/2} = \sqrt{gD} \)。
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