<單選題>設 \( a \) 與 \( b \) 都是平面上不為零的向量。若 \( 2\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 2\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為 \( 6 \)，則 \( 3\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 3\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 9
(3) 12
(4) 13.5
(5) 16
答案
設 \( a, b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \Delta \)，則 \( 2a+b \) 與 \( a+2b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \Delta = 3\Delta \)，三角形面積為 \( \frac{1}{2} \times 3\Delta = 6 \)，得 \( \Delta = 4 \)。\( 3a+b \) 與 \( a+3b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \Delta = 8 \times 4 = 32 \)，三角形面積為 \( \frac{1}{2} \times 32 = 16 \)。(5) 報錯
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