<選填題>坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為 \( (-1, 2, 1) \), \( (-4, 1, 3) \), \( (2, 0, -3) \)，另一面之一頂點在 xy 平面上且與原點距離為 1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為 __________。
答案
設 \( A(-1,2,1), B(2,0,-3), C(-4,1,3) \)，則 \( \overset{\rightharpoonup}{AB} = (3,-2,-4), \overset{\rightharpoonup}{AC} = (-3,-1,2) \)
底面積 = \( |\overset{\rightharpoonup}{AB} \times \overset{\rightharpoonup}{AC}| = |(-8,6,-9)| = \sqrt{181} \)
設 \( D(x,y,0) \) 在 xy 平面且 \( x^2+y^2=1 \)，高為 \( D \) 到平面 \( ABC \) 距離，利用柯西不等式得最大距離為 \( \frac{|8x-6y+11|}{\sqrt{181}} \) 的最大值為 \( \frac{21}{\sqrt{181}} \)
最大體積 = 底面積 × 高 = \( \sqrt{181} \times \frac{21}{\sqrt{181}} = 21 \) 報錯
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