<非選擇>設$a,b$為實數，並設$O$為坐標平面的原點。已知二次函數$f(x)=ax^2$的圖形與圓$\Omega:x²+y²−3y+b=0$皆通過點$P(1,\frac{1}{2})$ ，並令點$C$為$\Omega$的圓心。根據上述，試回答下列問題。
[12-14為題組]12. 試求向量CO與CP夾角的餘弦值。（非選擇題，2分）
答案
將\(P(1, \frac{1}{2})\)代入\(f(x) = ax^2\)，得\(a = \frac{1}{2}\)。代入圓\(\Omega\)：\(1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} + b = 0\)，解得\(b = \frac{1}{4}\)。圓\(\Omega\)方程為\(x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2\)，圓心\(C(0, \frac{3}{2})\)。向量\(\overrightarrow{CO} = (0, -\frac{3}{2})\)，\(\overrightarrow{CP} = (1, -1)\)。餘弦值：\(\frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}| |\overrightarrow{CP}|} = \frac{0 \cdot 1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1)}{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：\(\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
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