<非選擇>[12-14為題組]
試求$y=f(x)$圖形上方與$\Gamma$下半圓弧所圍區域的面積。（非選擇題，6分）
答案
計算 \(f(x)\) 與圓的交點，利用積分求面積，得面積為 \(\frac{1}{6}\)。### 圓的方程與取弧
圓 \(\Omega: x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=2\)，取下半圓弧：
\[ y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2} \]
### 面積計算
所求面積：
\[
\begin{align*}
2\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2-x^2}\right)-\frac{1}{2}x^2\right]dx
&= 2\left(\frac{3}{2}-\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx\right) \\
&= 2\left(\frac{3}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{6}\right) \\
&= \frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}
\end{align*}
\]
（備註：\(\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx=\frac{1}{6}\)）答案為 \(\frac{1}{6}\)。
相關試題
