<選填題>令 \( E : x + z = 2 \) 為坐標空間中過三點 \( A(2, -1, 0) \)、\( B(0, 1, 2) \)、\( C(-2, 1, 4) \) 的平面。另有一點 \( P \) 在平面 \( z = 1 \) 上且其於 \( E \) 之投影點與 \( A \)、\( B \)、\( C \) 三點等距離。則點 \( P \) 與平面 \( E \) 的距離為 __________。（化為最簡根式）
答案
設 \( P(a, b, 1) \)，投影點 \( O \) 與 \( A, B, C \) 等距離 ⇒ \( PA = PB = PC \)
列式：
\( (a-2)^2 + (b+1)^2 + 1 = a^2 + (b-1)^2 + 1 \)
\( a^2 + (b-1)^2 + 1 = (a+2)^2 + (b-1)^2 + 9 \)
解得 \( a = -3, b = -4 \) ⇒ \( P(-3, -4, 1) \)
距離 \( d = \frac{|-3 + 1 - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) 報錯
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