<選填題>坐標空間中有兩不相交直線 \( L_1 :
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = 1 – t, \quad t \text{ 為實數} \\
z = 2 + t
\end{cases}
\)\( L_2 :
\begin{cases}
x = 2 + 2s \\
y = 5 + s, \quad s \text{ 為實數} \\
z = 6 – s
\end{cases}
\)
一直線 \( L_3 \) 與 \( L_1 \)、\( L_2 \) 皆相交且垂直。若 \( P \)、\( Q \) 兩點分別在 \( L_1 \)、\( L_2 \) 上且與 \( L_3 \) 之距離皆為 3，則 \( P \)、\( Q \) 兩點的距離為__________ 。（化為最簡根式）
答案
\( L_1 \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{\ell_1} = (1, -1, 1) \), \( L_2 \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{\ell_2} = (2, 1, -1) \)，兩者垂直
包含 \( L_1 \) 及平行 \( L_2 \) 的平面 \( E: y+z=3 \)
取 \( L_2 \) 上一點 \( B(2,5,6) \)，到 \( E \) 距離 \( \overline{QQ'} = \frac{|5+6-3|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \)
又 \( \overline{PQ'} = 3\sqrt{2} \)
∴ \( \overline{PQ} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 5\sqrt{2} \)
相關試題
