<單選>放射性物質的半衰期T定義為「每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有A、B兩種放射性物質，其半衰期分別為 \( T_A \)、\( T_B \)。開始記錄時這兩種物質的質量相等，112天後測量發現物質B的質量為物質A的質量的四分之一。根據上述，試問 \( T_A \)、\( T_B \) 滿足下列哪一個關係式？
(1) \(-2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)
(2) \(2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)
(3) \(-2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
(4) \(2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
(5) \(2 \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
答案
設初始質量為 \(M\)，112天後A的質量為 \(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)，B的質量為 \(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}}\)。根據題意，\(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}} = \frac{1}{4} M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)，即 \(2^{-\frac{112}{T_B}} = 2^{-2} \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)。取對數得 \(-\frac{112}{T_B} = -2 - \frac{112}{T_A}\)，整理得 \(2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)。答案為(2)。 報錯
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